Ćwiczenia 3: suma i iloczyn uogólniony

Zadania

1.  Które z poniższych implikaci są prawdziwe dla dowolnych zbiorów X, Y:
   a) jeśli \( P(Y) \subseteq X \), to \(Y \subseteq \bigcup X\),
   b) jeśli \(Y \subseteq \bigcup X\), to \( P(Y) \subseteq X \).
2. a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{A} \subseteq \bigcap \mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{B} \subseteq \bigcap \mathcal{A}\)?
3. Czy dla dowolnych niepustych A, B takich, że \(A \cap B \neq \emptyset\) zachodzi:
   a) \(\bigcup A \cup\bigcup B = \bigcup (A \cup B)\)
   b) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cap B)\),
   c) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cup B)\)?
4. Które z równości zachodzą dla dowolnego A:
   a) \(\bigcap \{P(B) \mid B \subseteq A \} = \{ \bigcap P(B) \mid B \subseteq A \} \),
   b) \(\bigcup \{P(B) \mid B \subseteq A \} = \{ \bigcup P(B) \mid B \subseteq A \} \)?
5. Znaleźć \( \bigcup_{t \in \RR_+} A_t \) i \( \bigcap_{t \in \RR_+} A_t \), gdzie \(A_t = (1-\frac{1}{t}, 2 + \sqrt{t})\) dla \(t \in \RR_+\).

Praca domowa

Zadania 38 d,e i 43 ze zbioru zadań.

Ćwiczenia 2: rachunek zbiorów, zbiór potęgowy

Zadania

1. Przypuśćmy, że zbiór A ma n elementów, a zbiór B ma n elementów. Ile elementów mają zbiory \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A - B\)?
2. Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzą równości:
   a) \(A - (B \cup C) = (A - B) - C\),
   b) \(A - (B - C) = (A - B) \cup C\),
   c) \((A \cup B \cup C) - (A \cup B) = C\),
   d) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)?
3. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów w \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi następująca implikacja:
   a) jeśli \(C - B \subseteq C - A\), to \(A \subseteq B\),
   b) jeśli \( A - B = B - A \), to \( A = B\).
   
4. Zbadać, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi:
   a) \(P (A \cup B) = P(A) \cup P(B)\),
   b) \(P (A \cap B) = P(A) \cap P(B)\).
5. a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup\mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup \mathcal{B}\), to \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\)?
6. Udowodnić, że \(\bigcup P(A) = A\) dla dowolnego A.

Praca domowa

Zadania 25 i 29 ze zbioru zadań.