Ćwiczenia 8: porządki cz. 2

Zadania

1.  Udowodnić, że jeśli w porządku częściowym każdy dwuelementowy podzbiór ma kres górny, to każdy niepusty podzbiór ma kres górny.
2. Podać przykład zupełnego porządku częściowego, który nie jest kratą zupełną. (Wskazówka: takim porządkiem jest zbiór funkcji częściowych z relacją zgodności.)
3. Niech A będzie częściowym porządkiem zupełnym i niech \(f: A \to A\) będzie ciągła. Udowodnić, że jeśli \(a \leq f(a)\), to istnieje taki punkt stały \(b\), że \(a \leq b\).

Praca domowa

Zadania 381 i 366 (bez pytania o bijekcję).

Dla chętnych: zadanie 386. Definicja: Krata - częściowy porządek, w którym każdy dwuelementowy podzbiór ma kres górny.

Ćwiczenia 7: porządki

Zadania

1. (Utajnione) Zadanie z kartkówki. 
2. Podać przykład zbioru częściowo uporządkowanego z dwoma elementami maksymalnymi, jednym minimalnym, bez elementu najmniejszego i z takim czteroelementowym antyłańcuchem, który jest ograniczony z góry, ale nie ma kresu górnego.
3.  Rozpatrzmy częściowe uporządkowanie zbioru \(\{0,1\}^{\NN}\) takie, że
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. }\forall x (f(x) \leq g(x)). \]
   a) Czy ten porządek jest liniowy?
   b) Czy istnieje w nim łańcuch nieskończony?
   c) Czy istnieje w nim antyłańcuch nieskończony?
   d) Czy ma element maksymalny, minimalny, najmniejszy, największy?
4. Czy zbiór \(\{01^n \mid n \in \NN\}\) ma kres górny (dolny) w zbiorze \(\{0,1\}^{\NN}\) uporządkowanym leksykograficznie?
5. Czy zbiór \(\{0^n1 \mid n \in \NN\}\) ma kres górny (dolny) w zbiorze \(\{0,1\}^{\NN}\) uporządkowanym leksykograficznie?

Praca domowa

Zadania 352 i 353 ze zbioru zadań.

Ćwiczenia 6: równoliczość i relacje

Zadania

1. Pokazać, że jeśli \(A \sim B\), to \(P(A) \times P(B) \sim \{0,1,2,3\}^A\).
2. Znaleźć przykład pięcioelementowej relacji na zbiorze liczb naturalnych, która jest
   a) przechodnia,
   b) symetryczna,
   c) zwrotna.
3. Niech \(r = \{ \langle A, B\rangle \in P(\NN) \times P(\NN) \mid A \subseteq B\}\) i \(s = \{ \langle A, B\rangle \in P(\NN) \times P(\NN) \mid A \cap B = \emptyset\}\).
   a) Czy \(r \cdot s  = s \cdot r\)?
   b) Czy \(r^{-1} = r\)?
   c) Czy \(s^{-1} = s\)?
4. Dla jakich relacji \(r \subseteq A \times A\) zachodzą równości \(r \cdot r^{-1} = r^{-1} \cdot r = id_{A}\)?

Praca domowa

Zadania 163 i 491 a,b,e ze zbioru zadań.

Ćwiczenia 5: funkcje

Zadania

1. Niech funkcja \(f : P(\NN) \to (\NN \to \NN) \) będzie taka, że
   \[f(S)(n) = max\{ x \in S \cup \{0\} \mid x \leq n \}.\]
   a) Czy f jest różnowartościowa?
   b) Czy f jest na \(\NN \to \NN\)?
   c) Udowodnić, że \(f(\NN)(\NN) = \NN\).
   d) Udowodnić, że dla dowolnego \(S \subseteq \NN\) zachodzi
   \[f(S)^{-1}(S) = \NN \hbox{ wtw. } 0 \in S\]
   e) Udowodnić, że \(f^{-1}(C) = \{\emptyset, \{0\}\}\), gdzie C to zbiór funkcji stałych.
2. Funkcję \(F : (\NN \to P(\NN)) \to P(\NN)\) jest określona warunkiem
   \[ F(x) = \bigcup \{x(i) \mid i \in \NN\}.\]
   a) Czy F jest różnowartościowa?
   b) Czy F jest na \(P(\NN)\)?
   c) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest jednoelementowy?
   d) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest czteroelementowy?
3. Podać przykład pary funkcji \(f,g : \NN \to \NN\) spełniających wszystkie poniższe warunki:
   a)\(\forall x( g(x) \neq x)\),
   b) \(g \circ g = id_{\NN}\),
   c) \(f \circ g = g\),
   d) \(f\) jest na \(\NN\),
   e) obrazem zbioru liczb parzystych przy przekształceniu g jest zbiór liczb nieparzystych.
4. Podać przykład pary funkcji \(f,g : \NN \to \NN\) spełniających wszystkie poniższe warunki:
   a)\(\forall x( g(x) \neq x)\),
   b) \(g \circ g = id_{\NN}\),
   c) \(f \circ g = f\),
   d) \(f\) jest na \(\NN\),
   e) obrazem zbioru liczb parzystych przy przekształceniu g jest zbiór liczb nieparzystych.
5.  Pokazać, że funkcja \(\varphi:P(A)^B \to P(A\times B)\) taka, że
   \[ \varphi(f) = \{\langle a,b\rangle \in A \times B \mid  a \in f(b)\} \]
   jest bijekcją.
6. Znaleźć przykład takiej funkcji \(f: \NN\to\NN\), że przeciwobraz każdego zbioru jednoelementowego jest
   a) jednoelementowy,
   b) dwuelementowy,
   c) nieskończony.

Praca domowa

Zadania 79 i 116 ze zbioru zadań.

Ćwiczenia 4: iloczyn kartezjański, funkcje

Zadania

1. Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
2. Czy dla dowolnych niepustych rodzin \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\) zachodzi \(\bigcap \mathcal{A} \times  \bigcap \mathcal{B} = \bigcap \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\),
3. Ile jest funkcji, funkcji częściowych, funkcji różnowartościowych, funkcji na
   a) \(\emptyset \to \emptyset\),
   b) \(\emptyset \to \{ \cdot \}\),
   c) \(\{ \cdot \}\to \emptyset\),
   d) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot \}\),
   e) \(\{ \cdot, \square \}\to \{ \cdot \}\),
   f) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot, \square \}\)?
4. Niech \(f:A\to B\). Pokazać, że f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego C i dla każdych \(g,h: C \to A\) zachodzi \(f \circ g = f\circ h \to g=h\).
5. Podać przykład \(f : A \to B\), \(X \subseteq A\), \(Y \subseteq B\) takich, że
   a) \(f^{-1}(f(X)) \neq X\),
   b) \(f(f^{-1}(Y)) \neq Y\).
6. Niech \(F : \NN^{\NN} \to P(\NN)\) będzie taka, że \(F(f) = f^{-1}(\{1\})\).
   a) Czy \(F\) jest różnowartościowa?
   b) Czy \(F\) jest na \(P(\NN)\)?
   c) Znaleźć obraz zbioru funkcji stałych.

 Praca domowa

Zadania 82 i 110 ze zbioru zadań.

Ćwiczenia 3: suma i iloczyn uogólniony

Zadania

1.  Które z poniższych implikaci są prawdziwe dla dowolnych zbiorów X, Y:
   a) jeśli \( P(Y) \subseteq X \), to \(Y \subseteq \bigcup X\),
   b) jeśli \(Y \subseteq \bigcup X\), to \( P(Y) \subseteq X \).
2. a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{A} \subseteq \bigcap \mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{B} \subseteq \bigcap \mathcal{A}\)?
3. Czy dla dowolnych niepustych A, B takich, że \(A \cap B \neq \emptyset\) zachodzi:
   a) \(\bigcup A \cup\bigcup B = \bigcup (A \cup B)\)
   b) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cap B)\),
   c) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cup B)\)?
4. Które z równości zachodzą dla dowolnego A:
   a) \(\bigcap \{P(B) \mid B \subseteq A \} = \{ \bigcap P(B) \mid B \subseteq A \} \),
   b) \(\bigcup \{P(B) \mid B \subseteq A \} = \{ \bigcup P(B) \mid B \subseteq A \} \)?
5. Znaleźć \( \bigcup_{t \in \RR_+} A_t \) i \( \bigcap_{t \in \RR_+} A_t \), gdzie \(A_t = (1-\frac{1}{t}, 2 + \sqrt{t})\) dla \(t \in \RR_+\).

Praca domowa

Zadania 38 d,e i 43 ze zbioru zadań.

Ćwiczenia 2: rachunek zbiorów, zbiór potęgowy

Zadania

1. Przypuśćmy, że zbiór A ma n elementów, a zbiór B ma n elementów. Ile elementów mają zbiory \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A - B\)?
2. Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzą równości:
   a) \(A - (B \cup C) = (A - B) - C\),
   b) \(A - (B - C) = (A - B) \cup C\),
   c) \((A \cup B \cup C) - (A \cup B) = C\),
   d) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)?
3. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów w \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi następująca implikacja:
   a) jeśli \(C - B \subseteq C - A\), to \(A \subseteq B\),
   b) jeśli \( A - B = B - A \), to \( A = B\).
   
4. Zbadać, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi:
   a) \(P (A \cup B) = P(A) \cup P(B)\),
   b) \(P (A \cap B) = P(A) \cap P(B)\).
5. a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup\mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup \mathcal{B}\), to \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\)?
6. Udowodnić, że \(\bigcup P(A) = A\) dla dowolnego A.

Praca domowa

Zadania 25 i 29 ze zbioru zadań.