Ćwiczenia 11: relacje równoważności

Zadania

1. Jaka jest najmniejsza i największa (w sensie zawierania) relacja równoważności w zbiorze A?
2.  Czy istnieje relacja równoważności w \(\NN\), która ma:
   a) dokładnie dwie klasy abstrakcji po 37 elementów,
   b) dwie klasy abstrakcji po 37 elementów, trzy klasy abstrakcji po 33 elementy i jedną nieskończoną klasę abstrakcji,
   c) nieskończenie wiele klas abstrakcji, każda o nieskończonej liczbie elementów.
3. Niech \(R \subseteq \NN^\NN \times \NN^\NN\) będzie określona tak:
   \[ \langle f, g \rangle \hbox{ wtw. } \forall n(f(n) - g(n) \hbox{ jest liczbą parzystą. })\]
   a) Pokazać, że R jest relacją równoważności.
   b) Opisać klasę abstrakcji funkcji identycznościowej.
   c) Czy zbiór \((\NN\to\NN)/_R\) jest nieskończony?
   d) Czy zbiór \(\{f: \NN\to \NN \mid f(0) = 2\}\) jest klasa abstrakcji tej relacji?
4. Niech \(r \subseteq \NN^\NN \times \NN^\NN\) będzie określona tak:
   \[ \langle f, g \rangle \hbox{ wtw. } f(\NN) = g(\NN).\]
   a) Udowodnić jednym krótkim zdaniem, że r jest relacją równoważności.
   b) Znaleźć \([\lambda x.1]_r\) i \([id_{\NN}]_r\).
   c) Czy zbiór wszystkich funkcji różnowartościowych jest klasą abstrakcji tej relacji?
   d) Czy istnieje dwuelementowa klasa abstrakcji?
5. Niech \(r\) będzie relacją równoważności w \(\NN\) i niech \(f : \NN \times \NN \to P(\NN)\) będzie taka, że:
   \[f(\langle x,y \rangle) = [x]_r \cup [y]_r\]
   a) Czy f jest różnowartościowa?
   b) Czy f jest na \(P(\NN)\)?
   c) Znaleźć \(f^{-1}(\{ [3]_r \})\).
   d) Znaleźć \(f(r)\).
6. Niech A będzie niepustym zbiorem i niech \(f:A \to A\).
   a) Udowodnić, że jeśli f jest różnowartościowa, to relacja \(r \subseteq A \times A\) dana warunkiem
   \[ x r y \hbox{ wtw. } \exists n \in \NN (f^n(x) = y \hbox{ lub } f^n(y) = x) \]
   jest relacją równoważności.
   b) Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne, tj. jeśli r jest relacją równoważności, to f musi być różnowartościowa?

Praca domowa

Zadania 180, 186.
Dla chętnych: zadanie 192.