Ćwiczenia 12: moce cz. 1

Zadania

1. Pokazać, że \(\NN \times \NN \sim \NN\).
2. Pokazać, że \(\QQ \sim \NN\). 
3. Pokazać, że \(\RR \sim  (0,1)\).  
4. Pokazać, że \((0,1) \sim(0,1) \times (0,1)\).
5. Jakiej mocy jest zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie?
6. Niech \(\mathcal{R}\) oznacza zbiór relacji równoważności w \(\NN\). Jakiej mocy są zbiory:
   a) \(A =\{ r \in \mathcal{R} \mid [0]_r = \NN - \{7\}\}\),
   b) \(B =\{ r \in \mathcal{R} \mid [0]_r = \NN - \{7,49\}\}\),
   c) \(C =\{ r \in \mathcal{R} \mid [0]_r = \{7, 49\}\}\).
7. Pokazać, że \(\RR \not\sim \NN\).
8. Udowodnić, że jeśli A jest dowolnym zbiorem parami rozłącznych przedziałów na prostej, to moc zbioru A jest mniejsza lub równa \(\aleph_0\).
9. Niech P będzie zbiorem wszystkich prostokątów na płaszczyźnie i niech \(r\) będzie relacją podobieństwa trójkątów (to jest relacja równoważności w P). Znaleźć moc zbioru \(P/_r\).

Praca domowa

Zadania 271, 273.
Dla chętnych: zadanie 256.