poniedziałek, 23 stycznia 2017

Ćwiczenia 14: dobre ufundowanie

Zadania

  1. Niech \(A = \{ 3 - \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\),
    \(B = \{ \pi - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{4\}\),
    \(C = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{ 2 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\).
    Rozpatrzmy zbiory A, B, C, \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q} - \{0\}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R} - \{0\}\). Które z nich są izomorficzne?
  2. Czy zbiór \(\langle \NN^{*}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
  3. Czy zbiór \(\langle \NN^{2}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
  4. Podać trzy przykłady zbiorów dobrze ufundowanych mocy \(\aleph_{0}\) takich, że żadne dwa nie są izomorficzne.
  5. Udowodnić, że jeśli \(\langle A, \leq_A \rangle\), \(\langle B, \leq_B \rangle\) są dobrze ufundowane i \( A \cap B \neq \emptyset\), to porządek \(\langle A \cup B, \leq\>\) zdefiniowany tak:
    \[ x \leq y \hbox{ wtw. } x \leq_A y \vee x \leq_B y \vee (x \in A \wedge y \in B)\]
    jest dobrze ufundowany.
  6. Niech \(\langle A, \leq\rangle\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym, w którym wszystkie antyłańcuchy są skończone. Niech \((a_i)_{i \in \NN}\) będzie dowolnym ciągiem elementów. Udowodnić, że istnieją \(i < j\) takie, że \(a_i \leq a_j\).

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz