Ćwiczenia 14: dobre ufundowanie
Zadania
- Niech \(A = \{ 3 - \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\),
\(B = \{ \pi - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{4\}\),
\(C = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{ 2 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\).
Rozpatrzmy
zbiory A, B, C, \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\),
\(\mathbb{Q} - \{0\}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R} - \{0\}\). Które z
nich są izomorficzne?
- Czy zbiór \(\langle \NN^{*}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
- Czy zbiór \(\langle \NN^{2}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
- Podać trzy przykłady zbiorów dobrze ufundowanych mocy \(\aleph_{0}\) takich, że żadne dwa nie są izomorficzne.
- Udowodnić, że jeśli \(\langle A, \leq_A \rangle\), \(\langle B, \leq_B \rangle\) są dobrze ufundowane i \( A \cap B \neq \emptyset\), to porządek \(\langle A \cup B, \leq\>\) zdefiniowany tak:
\[ x \leq y \hbox{ wtw. } x \leq_A y \vee x \leq_B y \vee (x \in A \wedge y \in B)\]
jest dobrze ufundowany.
- Niech \(\langle A, \leq\rangle\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym, w którym wszystkie antyłańcuchy są skończone. Niech \((a_i)_{i \in \NN}\) będzie dowolnym ciągiem elementów. Udowodnić, że istnieją \(i < j\) takie, że \(a_i \leq a_j\).
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz