Ćwiczenia 4: iloczyn kartezjański, funkcje

Zadania

1. Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
2. Czy dla dowolnych niepustych rodzin \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\) zachodzi \(\bigcap \mathcal{A} \times  \bigcap \mathcal{B} = \bigcap \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\),
3. Ile jest funkcji, funkcji częściowych, funkcji różnowartościowych, funkcji na
   a) \(\emptyset \to \emptyset\),
   b) \(\emptyset \to \{ \cdot \}\),
   c) \(\{ \cdot \}\to \emptyset\),
   d) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot \}\),
   e) \(\{ \cdot, \square \}\to \{ \cdot \}\),
   f) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot, \square \}\)?
4. Niech \(f:A\to B\). Pokazać, że f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego C i dla każdych \(g,h: C \to A\) zachodzi \(f \circ g = f\circ h \to g=h\).
5. Podać przykład \(f : A \to B\), \(X \subseteq A\), \(Y \subseteq B\) takich, że
   a) \(f^{-1}(f(X)) \neq X\),
   b) \(f(f^{-1}(Y)) \neq Y\).
6. Niech \(F : \NN^{\NN} \to P(\NN)\) będzie taka, że \(F(f) = f^{-1}(\{1\})\).
   a) Czy \(F\) jest różnowartościowa?
   b) Czy \(F\) jest na \(P(\NN)\)?
   c) Znaleźć obraz zbioru funkcji stałych.

 Praca domowa

Zadania 82 i 110 ze zbioru zadań.