Ćwiczenia 5: funkcje

Zadania

1. Niech funkcja \(f : P(\NN) \to (\NN \to \NN) \) będzie taka, że
   \[f(S)(n) = max\{ x \in S \cup \{0\} \mid x \leq n \}.\]
   a) Czy f jest różnowartościowa?
   b) Czy f jest na \(\NN \to \NN\)?
   c) Udowodnić, że \(f(\NN)(\NN) = \NN\).
   d) Udowodnić, że dla dowolnego \(S \subseteq \NN\) zachodzi
   \[f(S)^{-1}(S) = \NN \hbox{ wtw. } 0 \in S\]
   e) Udowodnić, że \(f^{-1}(C) = \{\emptyset, \{0\}\}\), gdzie C to zbiór funkcji stałych.
2. Funkcję \(F : (\NN \to P(\NN)) \to P(\NN)\) jest określona warunkiem
   \[ F(x) = \bigcup \{x(i) \mid i \in \NN\}.\]
   a) Czy F jest różnowartościowa?
   b) Czy F jest na \(P(\NN)\)?
   c) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest jednoelementowy?
   d) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest czteroelementowy?
3. Podać przykład pary funkcji \(f,g : \NN \to \NN\) spełniających wszystkie poniższe warunki:
   a)\(\forall x( g(x) \neq x)\),
   b) \(g \circ g = id_{\NN}\),
   c) \(f \circ g = g\),
   d) \(f\) jest na \(\NN\),
   e) obrazem zbioru liczb parzystych przy przekształceniu g jest zbiór liczb nieparzystych.
4. Podać przykład pary funkcji \(f,g : \NN \to \NN\) spełniających wszystkie poniższe warunki:
   a)\(\forall x( g(x) \neq x)\),
   b) \(g \circ g = id_{\NN}\),
   c) \(f \circ g = f\),
   d) \(f\) jest na \(\NN\),
   e) obrazem zbioru liczb parzystych przy przekształceniu g jest zbiór liczb nieparzystych.
5.  Pokazać, że funkcja \(\varphi:P(A)^B \to P(A\times B)\) taka, że
   \[ \varphi(f) = \{\langle a,b\rangle \in A \times B \mid  a \in f(b)\} \]
   jest bijekcją.
6. Znaleźć przykład takiej funkcji \(f: \NN\to\NN\), że przeciwobraz każdego zbioru jednoelementowego jest
   a) jednoelementowy,
   b) dwuelementowy,
   c) nieskończony.

Praca domowa

Zadania 79 i 116 ze zbioru zadań.